Cos'è prodotto scalare?

Ecco le informazioni sul prodotto scalare in formato Markdown:

Prodotto Scalare (Prodotto Interno)

Il prodotto scalare, noto anche come prodotto interno, è un'operazione algebrica che prende due sequenze di numeri di uguale lunghezza (solitamente vettori) e restituisce un singolo numero (uno scalare). Questo scalare è la somma dei prodotti dei corrispondenti elementi delle due sequenze. È ampiamente utilizzato in algebra lineare, geometria e fisica.

Definizione:

Dati due vettori a = (a₁, a₂, ..., aₙ) e b = (b₁, b₂, ..., bₙ), il loro prodotto scalare, indicato con a ⋅ b, è definito come:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ

Interpretazione Geometrica:

Il prodotto scalare ha una importante interpretazione geometrica:

a ⋅ b = ||a|| ||b|| cos(θ)

dove:

• ||a|| è la lunghezza del vettore a (o modulo o norma).
• ||b|| è la lunghezza del vettore b.
• θ è l'angolo tra i vettori a e b.

Da questa formula, si può notare che:

• Se a ⋅ b = 0, allora cos(θ) = 0, il che significa che θ = 90° (o π/2 radianti). Quindi i vettori sono ortogonali.
• Se a ⋅ b > 0, allora l'angolo tra i vettori è acuto (minore di 90°).
• Se a ⋅ b < 0, allora l'angolo tra i vettori è ottuso (maggiore di 90°).

Proprietà:

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:

• Commutatività: a ⋅ b = b ⋅ a
• Distributività: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
• Associatività rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: (ka) ⋅ b = k (a ⋅ b) = a ⋅ (kb), dove k è uno scalare.
• a ⋅ a = ||a||² (il prodotto scalare di un vettore con se stesso è il quadrato della sua norma).

Applicazioni:

Il prodotto scalare ha numerose applicazioni in diversi campi:

• Fisica: Calcolo del lavoro compiuto da una forza.
• Grafica Computerizzata: Calcolo dell'illuminazione delle superfici.
• Machine Learning: Calcolo della similarità tra vettori di caratteristiche.
• Geometria: Determinazione dell'angolo tra due rette o piani, verifica dell'ortogonalità.
• Algebra Lineare: Definizione di spazi vettoriali con prodotto interno.

Esempio:

Siano a = (1, 2, 3) e b = (4, 5, 6).

Allora, a ⋅ b = (1 * 4) + (2 * 5) + (3 * 6) = 4 + 10 + 18 = 32.